批次效应指的是在不同的生产批次之间，可能存在系统性的差异，例如某个批次的零配件质量可能较差，而另一个批次的零配件质量较好。批次效应可能导致次品率在不同批次间存在显著的波动，而这对企业的决策产生了进一步的影响。为应对批次效应，需要在模型中引入批次的概念，并在决策过程中考虑这一效应。
在原有模型的基础上，我们可以通过两种方式引入批次效应：
假设不同批次的次品率存在差异，但这些差异不是确定的，而是服从某种分布。这种方式下，我们可以将批次效应建模为一个随机效应，反映出批次之间的变化。
对于每个批次 $i$，设零配件 $j$ 的次品率为 $p_{ij}$，我们假设这些次品率是从一个总体分布中抽样而来的，例如，零配件1的次品率 $p_{i1}$ 服从一个总体的Beta分布： $$ p_{i1} \sim \text{Beta}(\alpha_1, \beta_1) $$ 类似地，零配件2的次品率 $p_{i2}$ 也服从一个独立的Beta分布： $$ p_{i2} \sim \text{Beta}(\alpha_2, \beta_2) $$
然后，对于每个批次，我们根据检测结果更新其后验分布。例如，对于批次 $i$ 的零配件1，如果检测出 $x_{i1}$ 个次品，样本量为 $n_{i1}$，则后验分布为： $$ p_{i1} \sim \text{Beta}(\alpha_1 + x_{i1}, \beta_1 + n_{i1} - x_{i1}) $$
对于零配件2的后验分布可以类似计算。
为了更好地捕捉批次之间的差异，我们可以采用层次贝叶斯模型。该模型假设批次次品率 $p_{ij}$ 是从一个更高层次的分布（总体分布）中产生的：
对于每个零配件 $j$，其总体次品率 $p_j$ 服从Beta分布： $$ p_j \sim \text{Beta}(\alpha_j, \beta_j) $$
批次次品率 $p_{ij}$ 是在总体次品率 $p_j$ 周围波动的，即每个批次的次品率从 $p_j$ 的分布中抽取。例如： $$ p_{ij} \sim \text{Beta}(\alpha_j^i, \beta_j^i) $$
检测每个批次 $i$ 的零配件时，我们根据抽样检测的数据更新这个批次的次品率估计，然后再在决策中使用该信息。
通过层次模型，我们能够同时捕捉批次间的差异和总体上的次品率趋势。
对于每个批次，由于批次效应的存在，次品率在各批次之间不再一致。我们需要对每个批次分别做出检测与生产决策，具体步骤如下：
对每个批次进行抽样检测：根据检测结果和先验分布，更新该批次的次品率分布。
批次决策：基于批次的后验分布计算期望次品率，结合成本分析（检测成本、调换损失等）来决定：
对于跨批次的决策，企业可以根据多个批次的历史数据，调整整体的质量控制策略。例如：
在引入批次效应后，损失函数也需要针对每个批次单独计算。由于每个批次的次品率不再相同，针对每个批次的期望损失函数可以表示为：
$$ E[\text{损失}i] = C_d + E[p{fi}] \times C_r + C_s $$
其中，$E[p_{fi}]$ 是批次 $i$ 的成品次品率的期望值，这可以通过结合两个零配件的后验次品率以及成品装配过程中次品率得到。
为了最小化整体的期望损失，企业可以采用以下策略：
在实际操作中，每次获得新的批次数据时，可以通过贝叶斯更新及时调整对该批次次品率的认识，并结合损失函数，调整生产流程。例如：
引入批次效应后，企业的决策需要更加灵活和细致。通过贝叶斯决策理论和层次贝叶斯模型，我们能够更好地捕捉批次间的差异，并在检测、生产、市场销售等各个环节做出最优决策。
批次效应使得检测的必要性更加显著，而通过批次效应的模型化，可以降低在不确定性下因次品率波动带来的经济损失，进而优化整体生产流程。