问题 1：最小化成本的抽样检测方法

为了解决确定零件批次是否应被接受或拒绝的问题，公司必须开发一个抽样方法。这个方法涉及顺序测试，目标是最小化成本，测试将持续到满足接受或拒绝该批次的可靠性要求为止。

定义：

设 $p_0$ 为零件的名义次品率（最大可接受次品率），其中 $p_0 = 10% = 0.1$。
$n$ 表示抽样的零件数量。
$k_n$ 表示在 $n$ 个抽样零件中发现的次品数量。
我们的目标是确定抽样数量 $n$，使得：
- 场景 (1)：若次品率超过名义值 $p_0$，则以 95% 的可靠性 拒绝该批次。
- 场景 (2)：若次品率不超过名义值 $p_0$，则以 90% 的可靠性 接受该批次。

假设：

检测单个零件的成本在不同抽样数量下相同。
过程是顺序进行的，即每次测试后，根据结果评估是否满足可靠性阈值。

逐步方法

二项分布：
- 抽样 $n$ 个零件中的次品数量服从二项分布 $X_n \sim \text{Binomial}(n, p)$，其中 $p$ 是次品率。
- 抽样 $n$ 个零件发现 $k_n$ 个次品的概率为： $$ P(X_n = k_n) = \binom{n}{k_n} p^{k_n} (1 - p)^{n - k_n} $$
贝叶斯更新次品率：
- 在抽样 $n$ 个零件并发现 $k_n$ 个次品后，我们可以使用贝叶斯推断更新次品率 $p$ 的估计值。
- 如果次品率 $p$ 的先验分布是均匀分布，那么次品率的后验分布为 Beta 分布： $$ p | k_n \sim \text{Beta}(k_n + 1, n - k_n + 1) $$
- 该后验分布的均值为 $\hat{p} = \frac{k_n + 1}{n + 2}$，即基于当前数据的次品率估计。
可靠性阈值：
- 要确定该批次应被拒绝或接受，我们需要计算次品率超过或低于名义值 $p_0 = 0.1$ 的累积概率。
- 这可以通过 Beta 分布的累积分布函数（CDF）来完成：
  - 对于 95% 可靠性的拒绝： $$ P(p > p_0 | k_n, n) = 1 - F_{\text{Beta}}(p_0; k_n + 1, n - k_n + 1) \geq 0.95 $$ 其中 $F_{\text{Beta}}$ 是 Beta 分布的累积分布函数。
  - 对于 90% 可靠性的接受： $$ P(p \leq p_0 | k_n, n) = F_{\text{Beta}}(p_0; k_n + 1, n - k_n + 1) \geq 0.90 $$
抽样策略：
- 公司从一个一个测试开始，并跟踪 $n$ 和 $k_n$（到目前为止发现的次品数量）。
- 每次测试后，公司更新次品率的后验分布，并计算拒绝或接受的概率。
- 一旦概率满足拒绝（95%）或接受（90%）的可靠性要求，测试即停止。

两种场景的具体结果

接下来，我们根据这两种场景实施抽样测试策略。

场景 1：以 95% 的可靠性拒绝

如果次品率超过 10% 的概率大于或等于 95%，则拒绝该批次。

场景 2：以 90% 的可靠性接受

如果次品率小于或等于 10% 的概率大于或等于 90%，则接受该批次。

所需的测试数量 $n$ 取决于过程中发现的次品数量。我们将继续抽样，直到满足其中一个条件。

在实际操作中，我们可以模拟这一过程，以找到拒绝和接受的具体停止点。以下算法可用于迭代：

从 $n = 1$ 开始。
每次测试后，更新 $k_n$（次品数量）并计算后验 Beta 分布。
检查是否满足可靠性阈值：
- 如果 $P(p > p_0 | k_n, n) \geq 0.95$，则拒绝该批次。
- 如果 $P(p \leq p_0 | k_n, n) \geq 0.90$，则接受该批次。
如果都不满足，继续测试。