这个问题可以通过 逐次抽样检测置信区间 的方法来解决。我们将基于已检测的零配件数量 $n$ 和其中不合格零件的数量 $k_n$ 来判断是否接收或拒收这批零配件。在逐次检测过程中,计算每次抽样后的置信区间,并根据不同的信度要求作出决策。

建立数学模型

我们使用 二项分布 来描述零配件的不合格率问题。对于每次抽样,假设不合格零件的概率为 $p$,则抽取 $n$ 个零件后观察到 $k_n$ 个不合格零件的概率服从二项分布:

$$ P(k_n) = \binom{n}{k_n} p^{k_n} (1 - p)^{n - k_n} $$

我们的目标是使用已抽取的 $n$ 个样本和观察到的次品数 $k_n$ 来估计不合格率 $p$,并通过置信区间来判断是否接收这批零件。

方案设计

  1. 假设:供应商声称次品率 $p \leq 10%$。
  2. 逐次抽样检测:我们通过逐次抽样检测,并根据已检测样本数量和次品数量,实时计算次品率的置信区间,直到满足以下任一条件:
    • 在 95% 信度下,确定次品率 超过 10%,则拒收;
    • 在 90% 信度下,确定次品率 不超过 10%,则接收。

步骤 1:计算置信区间

利用 Wilson score intervalClopper-Pearson interval 来计算不合格率 $p$ 的置信区间。

$$ \hat{p} = \frac{k_n + z^2 / 2}{n + z^2} $$ $$ \text{误差项} = z \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n + z^2}} $$

其中,$z$ 是对应置信水平的 $z$ 值(查标准正态分布表),例如:

置信区间为:

$$ [\hat{p} - \text{误差项}, \hat{p} + \text{误差项}] $$

步骤 2:逐次抽样判断

  1. 设定次品率阈值 $p_0 = 0.10$。
  2. 检测 $n$ 个零件后,观察到 $k_n$ 个不合格零件,计算置信区间。
  3. 判断:
    • 如果置信区间的下限大于 0.10,则在 95% 信度下,认为次品率超过 10%,拒收;
    • 如果置信区间的上限小于 0.10,则在 90% 信度下,认为次品率不超过 10%,接收;
    • 如果以上两个条件都不满足,则继续抽样检测。

具体结果

情形 1:在 95% 的信度下认定零配件次品率超过标称值

我们使用 95% 的置信区间,当检测 $n$ 个零件后,计算出的次品率置信区间的 下限 超过 10%,则认为次品率超标,拒收。

假设检测到 $k_n$ 个次品,我们可以根据公式计算信度。如果我们发现抽样过程中次品数迅速增加,例如检测了 50 个零件后,有 8 个不合格零件(次品率 $16%$),则我们可以计算出 95% 信度下的置信区间,并判断是否拒收。

情形 2:在 90% 的信度下认定零配件次品率不超过标称值

使用 90% 的置信区间,如果检测后置信区间的 上限 低于 10%,则认为次品率符合标准,接收该批零配件。

假设检测了 50 个零件,发现仅有 2 个不合格零件(次品率 $4%$),通过计算 90% 信度的置信区间,判断是否可以接收。

迭代过程

在实际应用中,检测过程是动态进行的。每次检测一个零件后,更新次品率估计值并计算对应的置信区间,直到满足接收或拒收条件。这个过程可以大大减少检测次数,节约检测费用。

示例:

  1. $n = 50$, $k_n = 2$:
    • 90% 信度下:接收。
  2. $n = 50$, $k_n = 8$:
    • 95% 信度下:拒收。